Analysis Beispiele

$y = - \frac{7}{x} - \frac{5}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{7}{x} - \frac{5}{x} + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{x}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$7 x^{- 2} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$7 x^{- 2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$7 x^{- 2} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$7 x^{- 2} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$7 x^{- 2} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$7 x^{- 2} + 5 x^{- 2} - x^{- 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \frac{1}{x^{2}} + 5 x^{- 2} - x^{- 2}$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \frac{1}{x^{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - x^{- 2}$

Schritt 5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \frac{1}{x^{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Vereine die Terme

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{7}{x^{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{7}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 + 5}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.4.4

Addiere $7$ und $5$ .

$\frac{12}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 - 1}{x^{2}}$

Schritt 5.4.6

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$\frac{11}{x^{2}}$