Analysis Beispiele

$\int x^{2} \cos (\frac{1}{2} x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \cos (\frac{1}{2} x)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{1}{2} x)) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

Schritt 2

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{x}{2}) (2 x) d x$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 4 \sin (\frac{x}{2}) x d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - (4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (\frac{x}{2})$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{1}{2} x)) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{x}{2}) d x)$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - (- 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x))$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x)$

Schritt 9

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 9.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 10

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Schritt 10.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) (1 \cdot 2) d u)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \cdot 2 d u)$

Schritt 10.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int 2 \cos (u) d u)$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 (2 \int \cos (u) d u))$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \int \cos (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$

Schritt 14

Schreibe $x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$ als $2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$ um.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Schritt 16

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Schritt 16.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 (x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 x \cos (\frac{x}{2}) - 16 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} \sin (\frac{1}{2} x) + 8 x \cos (\frac{1}{2} x) - 16 \sin (\frac{1}{2} x) + C$