Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} 3 - x + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5)}{x + 5} + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Schritt 1.3

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} - x \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Schritt 1.4

Kombiniere $- x$ und $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5)}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.3

Bewege $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{1 + 1} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.2

Multipliziere.

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Schritt 2.1.2.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.3

Addiere $- 5 x$ und $3 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.8.4.1

Bewege $15$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + x^{2} - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.4.2

Stelle $- 2 x$ und $x^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.4.3

Stelle $- x^{2}$ und $x^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.6

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.8.7

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 4 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.2.9

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Schritt 2.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x (x + 5)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x (x + 5)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x (x + 5)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \cdot 1 + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.9

Mutltipliziere $x + 5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.3.10

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 (x + 5)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (x + 5)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x + 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.4.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.4.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.6.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.6.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.7.2.3

Addiere $- 5$ und $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 2 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.7.2.4

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.7.2.5

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.7.2.6

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + \frac{d}{d x} [5]}$

Schritt 2.3.10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + 0}$

Schritt 2.3.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} - 4$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $- 4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 4$