Analysis Beispiele

$- \frac{e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{4}}$

Schritt 1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{4}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 2 x^{3}}}{x^{4}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 2 x^{3}}}{x^{4}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- 2 x^{3}}$ und $g (x) = x^{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x^{3}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}])) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 2 (3 x^{2}))) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 6 x^{2})) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 6

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} x^{4} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2 + 4} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 6.3

Addiere $2$ und $4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 7

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 \cdot e^{- 2 x^{3}}) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - e^{- 2 x^{3}} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8} \cdot 4}$

Schritt 9.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{8}$ .

$- \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{4 \cdot x^{8}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{4 x^{8}}$

Schritt 10.1.2

Stelle die Faktoren in $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}$ um.

$- \frac{- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{8}}$

Schritt 10.2

Faktorisiere $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ aus $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ heraus.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ aus $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}}$ heraus.

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{8}}$

Schritt 10.2.2

Faktorisiere $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ aus $- 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ heraus.

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) + 2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 2)}{4 x^{8}}$

Schritt 10.2.3

Faktorisiere $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ aus $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) + 2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 2)$ heraus.

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{4 x^{8}}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)$ heraus.

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{4 x^{8}}$

Schritt 10.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{8}$ heraus.

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 (2 x^{8})}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 (2 x^{8})}$

Schritt 10.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{2 x^{8}}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)$ heraus.

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 x^{8}}$

Schritt 10.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $2 x^{8}$ heraus.

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{x^{3} (2 x^{5})}$

Schritt 10.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{x^{3} (2 x^{5})}$

Schritt 10.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3}) - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 10.6

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3}) - 1 (2))}{2 x^{5}}$

Schritt 10.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{3}) - 1 (2)$ heraus.

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3} + 2))}{2 x^{5}}$

Schritt 10.8

Schreibe $- (3 x^{3} + 2)$ als $- 1 (3 x^{3} + 2)$ um.

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- 1 (3 x^{3} + 2))}{2 x^{5}}$

Schritt 10.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 10.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 10.11

Mutltipliziere $\frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$ mit $1$ .

$\frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$