Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} - x}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int_{- 1}^{1} \frac{x \cdot x - x}{x} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\int_{- 1}^{1} \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$\int_{- 1}^{1} \frac{x (x - 1)}{x} d x$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{- 1}^{1} \frac{x (x - 1)}{x} d x$

Schritt 1.2.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$\int_{- 1}^{1} x - 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + - x]_{- 1}^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}$ und $- x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} - x$ bei $1$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - - 1)$

Schritt 5.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - - 1)$

Schritt 5.2.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + 1)$

Schritt 5.2.2.12

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 5.2.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} - \frac{1 + 2}{2}$

Schritt 5.2.2.14

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 3}{2}$

Schritt 5.2.2.16

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Schritt 5.2.2.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.17.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2}$

Schritt 5.2.2.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 5.2.2.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1}$

Schritt 5.2.2.17.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2$

Schritt 6