Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \sin (x)$ heraus.

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cos (x)$ heraus.

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ heraus.

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 2.3

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.4

Setze $- \sin (x) + \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $- \sin (x) + \cos (x)$ gleich $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2.6

Separiere Brüche.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 2.4.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Schritt 2.4.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Schritt 2.4.2.10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 2.4.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.11.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.11.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 2.4.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 2.4.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.13.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.4.2.14

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 2.4.2.15

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 2.4.2.15.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.4.2.15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.2.15.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.4.2.15.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 2.4.2.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.15.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 2.4.2.15.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.4.2.16

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.4.2.16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.4.2.16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.2.16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.4.2.16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.4.2.17

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.7

Verifiziere jede der Lösngen durch Einsetzen in $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ und Auflösen.

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = e^{x} \cos (x)$ bei $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $e^{\frac{π}{4}}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = e^{x} \cos (x)$ bei $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $e^{\frac{5 π}{4}}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = e^{x} \cos (x)$ bei $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $e^{\frac{9 π}{4}}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = e^{x} \cos (x)$ bei $x = 10.21017612$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10.21017612$ .

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ .

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Schritt 7

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = e^{x} \cos (x)$ bei $x = 13.35176877$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $13.35176877$ .

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Schritt 8

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = e^{x} \cos (x)$ sind $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Schritt 9