Analysis Beispiele

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ als $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

Schritt 2

Multipliziere $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 3.1.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 3.1.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

Schritt 3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.7.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

Schritt 3.2

Addiere $4 x y^{3}$ und $4 y^{3} x$ .

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Schritt 3.2.1

Bewege $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Schritt 3.2.2

Addiere $4 x y^{3}$ und $4 x y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Schritt 6

Da $y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{4}$ nach $x$ gleich $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Schritt 8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Schritt 9

Da $8 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x y^{3}$ nach $x$ gleich $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Schritt 11

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Schritt 12

Da $16 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

Schritt 13

Addiere $2 y^{4} x + 8 y^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Schritt 14.2

Vereine die Terme

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Schritt 14.2.2

Kombiniere $y^{4}$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Schritt 14.2.3

Kombiniere $\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ und $x$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Schritt 14.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Schritt 14.2.5

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

Schritt 14.2.6

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$