Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (e^{x} + x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 3.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 3.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x} + x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $e^{x} + 1$ mit $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

Schritt 4.1.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$e^{\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

Schritt 4.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

Schritt 4.1.2.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 4.1.3.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$e^{\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 4.1.3.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$e^{\frac{\infty}{\infty + \infty}}$

Schritt 4.1.3.4

Unendlich plus Unendlich ist Unendlich.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 4.1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

Schritt 4.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

Schritt 4.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 4.3.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 4.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}}$

Schritt 5.1.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 5.1.3.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$e^{\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 5.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\infty}{\infty + 1}}$

Schritt 5.1.3.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}}$

Schritt 5.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Schritt 5.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Schritt 5.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}}$

Schritt 5.3.6

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{1}$

Schritt 7

Vereinfache.

$e$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e$

Dezimalform:

$2.71828182 \dots$