Analysis Beispiele

$\int \sqrt{3 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Dann ist $d u = \sqrt{3} d x$ , folglich $\frac{1}{\sqrt{3}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$ als $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$ um.

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Schritt 1.1.2.1

Stelle $3$ und $x^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3}]$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$

Schritt 1.1.3

Da $\sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x \sqrt{3}$ nach $x$ gleich $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u \frac{1}{\sqrt{3}} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u$ und $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{u}{\sqrt{3}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{\sqrt{3}}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{\sqrt{3}}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \int u d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$ um.

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{3 \cdot 2} + C$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{6} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2}}{6} + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{\sqrt{3}}{6} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$