Analysis Beispiele

$\int x {(x + 4)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 4$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u - 4) u^{2} d u$

Schritt 2

Multipliziere $(u - 4) u^{2}$ aus.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u^{2} - 4 u^{2} d u$

Schritt 2.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 4 u^{2} d u$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 2} - 4 u^{2} d u$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Schritt 5

Da $- 4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{4} - \frac{4}{3} {(x + 4)}^{3} + C$