Analysis Beispiele

$\int (\frac{4 + 6 h}{\sqrt{h}}) d h$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{4 + 6 h}{\sqrt{h}} d h$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{h}$ als $h^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{4 + 6 h}{h^{\frac{1}{2}}} d h$

Schritt 3

Bringe $h^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (4 + 6 h) {(h^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d h$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(h^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 6 h) h^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d h$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (4 + 6 h) h^{\frac{- 1}{2}} d h$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (4 + 6 h) h^{- \frac{1}{2}} d h$

Schritt 5

Multipliziere $(4 + 6 h) h^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h \cdot h^{- \frac{1}{2}} d h$

Schritt 5.2

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 (h^{1} h^{- \frac{1}{2}}) d h$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h^{1 - \frac{1}{2}} d h$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d h$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h^{\frac{2 - 1}{2}} d h$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h^{\frac{1}{2}} d h$

Schritt 5.7

Stelle $4 h^{- \frac{1}{2}}$ und $6 h^{\frac{1}{2}}$ um.

$\int 6 h^{\frac{1}{2}} + 4 h^{- \frac{1}{2}} d h$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 h^{\frac{1}{2}} d h + \int 4 h^{- \frac{1}{2}} d h$

Schritt 7

Da $6$ konstant bezüglich $h$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int h^{\frac{1}{2}} d h + \int 4 h^{- \frac{1}{2}} d h$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $h^{\frac{1}{2}}$ nach $h$ gleich $\frac{2}{3} h^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} h^{\frac{3}{2}} + C) + \int 4 h^{- \frac{1}{2}} d h$

Schritt 9

Da $4$ konstant bezüglich $h$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$6 (\frac{2}{3} h^{\frac{3}{2}} + C) + 4 \int h^{- \frac{1}{2}} d h$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $h^{- \frac{1}{2}}$ nach $h$ gleich $2 h^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} h^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (2 h^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$6 (\frac{2}{3}) h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{3} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 11.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 h^{\frac{3}{2}} + 8 h^{\frac{1}{2}} + C$