Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{3 x^{2} + x}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x^{1}}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x \cdot 1}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot 1$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x + 1)}}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x^{4}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 10.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 11

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{1 - 0}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Dividiere $3 \cdot 0 + 0$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 \cdot 0 + 0}}{1 - 0}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 0}}{1 - 0}$

Schritt 12.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{0}}{1 - 0}$

Schritt 12.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{- \sqrt{0^{2}}}{1 - 0}$

Schritt 12.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 0}{1 - 0}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- 0}{1 + 0}$

Schritt 12.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 0}{1}$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 12.5

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$