Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{3} + 5 x}{4 x - 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} + 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 6}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 6}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 (\frac{1}{2})}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{\frac{1^{3}}{2^{3}} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{2^{3}} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\frac{1}{8} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5}{2}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.5

Um $\frac{5}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{4}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 4}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5 \cdot 4}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 + 5 \cdot 4}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{\frac{1 + 20}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.1.8.2

Addiere $1$ und $20$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{21}{8}}{2 (2) \frac{1}{2} - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{21}{8}}{2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{21}{8}}{2 - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{2 - 6}$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{- 4}$

Schritt 9.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{21}{8} \cdot \frac{1}{- 4}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{21}{8} (- \frac{1}{4})$

Schritt 9.5

Multipliziere $\frac{21}{8} (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $\frac{21}{8}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{21}{8 \cdot 4}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$- \frac{21}{32}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{21}{32}$

Dezimalform:

$- 0.65625$