Analysis Beispiele

$\int {(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2}$ als $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ um.

$\int (e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $e^{2 x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{2 x + 2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.1.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\int e^{4 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int e^{4 x} - e^{2 x} e^{- 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $e^{2 x}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.3.1

Bewege $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - (e^{- 2 x} e^{2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{4 x} - e^{- 2 x + 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.3.3

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\int e^{4 x} - e^{0} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.4

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.5

Multipliziere $e^{- 2 x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.5.1

Bewege $e^{2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - (e^{2 x} e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{4 x} - 1 - e^{2 x - 2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.5.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{0} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.6

Vereinfache $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} e^{- 2 x} d x$

Schritt 1.3.1.8

Multipliziere $e^{- 2 x}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.8.1

Bewege $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- 2 x} e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1.3.1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x - 2 x} d x$

Schritt 1.3.1.8.3

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 4 x} d x$

Schritt 1.3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 4 x} d x$

Schritt 1.3.1.10

Mutltipliziere $e^{- 4 x}$ mit $1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + e^{- 4 x} d x$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 2 + e^{- 4 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{4 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Schritt 4

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{- 4 x} d x$

Schritt 8

Sei $u_{2} = - 4 x$ . Dann ist $d u_{2} = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 8.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Schritt 9.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 11

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{4} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$