Analysis Beispiele

$y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 3.1.1

Schreibe ${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

Schritt 3.1.2

Zerlege $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}]$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (1 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (1 + x)$ und $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + x}$ und $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \cdot 1 - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6

Mutltipliziere $\frac{x}{1 + x}$ mit $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ mit $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Schritt 3.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.8.1

Kombinieren.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) (\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Schritt 3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Schritt 3.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 3.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Schritt 3.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \cdot 1)}{(1 + x) x^{2}}$

Schritt 3.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$

Schritt 3.10.2

Kombiniere $e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}$ und $\frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{(1 + x) x^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + 1 (- \ln (1 + x)) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.2.1.2

Mutltipliziere $- \ln (1 + x)$ mit $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) - x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- \ln (1 + x)) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.11.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.2.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.2.4

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))$ um.

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.11.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.11.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.11.3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1} x^{2}}$

Schritt 3.11.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1 + 2}}$

Schritt 3.11.3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{3}}$

Schritt 3.11.4

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$