Analysis Beispiele

$\frac{5}{x^{3}} + 3 \sqrt[4]{y} = 18$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{y}$ als $y^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}} = 18$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}) = \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$5 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$5 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y')$

Schritt 3.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y')$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y')$

Schritt 3.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y')$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y')$

Schritt 3.3.7.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y')$

Schritt 3.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y')$

Schritt 3.3.9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y')$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ und $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Schritt 3.3.11

Bringe $y^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 3.3.12

Kombiniere $3$ und $\frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 4

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 0$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $\frac{15}{x^{4}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = \frac{15}{x^{4}}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Schritt 6.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 6.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Schritt 6.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y' = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $\frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 y' = 4 \frac{15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Multipliziere $4 \frac{15}{x^{4}}$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{15}{x^{4}}$ .

$3 y' = \frac{4 \cdot 15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$3 y' = \frac{60}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Schritt 6.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{60}{x^{4}}$ und $y^{\frac{3}{4}}$ .

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ durch $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.4.3.2

Kombinieren.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4} \cdot 3}$

Schritt 6.4.3.3

Faktorisiere $3$ aus $60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1$ heraus.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{x^{4} \cdot 3}$

Schritt 6.4.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $x^{4} \cdot 3$ heraus.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Schritt 6.4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Schritt 6.4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4}}$

Schritt 6.4.3.5

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$