Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{3 (\ln (9 x + 10) + 1)}{4 ({(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{3}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{4} lim_{x \to 4} \frac{\ln (9 x + 10) + 1}{{(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 4} \ln (9 x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 4} \ln (9 x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 4} 9 x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 4} 9 x + lim_{x \to 4} 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 6

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $\frac{1}{3}$ von ${(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(lim_{x \to 4} 2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Schritt 12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 \cdot 4 + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 \cdot 4 + 10) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (36 + 10) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 16.1.2

Addiere $36$ und $10$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{{(8 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 16.2.2

Addiere $8$ und $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{10^{\frac{1}{3}} + 1}$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{\ln (46) + 1}{10^{\frac{1}{3}} + 1}$ .

$\frac{3 (\ln (46) + 1)}{4 (10^{\frac{1}{3}} + 1)}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 (\ln (46) + 1)}{4 (10^{\frac{1}{3}} + 1)}$

Dezimalform:

$1.14806024 \dots$