Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2}{x^{3} + 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2$ durch $x^{3} + 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{5} + 0 + 0 + 3 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											-	$2 x^{3}$	+	$0$	+	$0$	-	$2$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{3} + 0 + 0 - 2$

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$
													+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 3 x^{2} - 2 + \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Schritt 8

Schreibe $x^{3}$ als ${(x^{3})}^{1}$ um.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Schritt 9

Sei $u_{1} = x^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{1} = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 9.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1} + 1}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 10.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{1} + 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Schritt 11

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 13

Sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Schritt 13.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 13.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 13.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 1$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$