Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{e^{x}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 3.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x + e^{x}$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} (- x + 1)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Schritt 3.4.3.2.4

Dividiere $e^{- x} (- x + 1)$ durch $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Schritt 3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 3.4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Schritt 3.4.7

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- x} + e^{- x}$