Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Stelle die Faktoren in $x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x$ um.

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 4.4.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $- 1$ plus $- 1$

$\frac{e^{x} x^{2} + (- 1 - 1) (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 (e^{x} x) - 1 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.1.4

Versetze die Klammern.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x) - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{e^{x} x (x - 1) - 1 e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} x - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - 1 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 1 e^{x}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{(x - 1) e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.4.3.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ um.

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$