Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- 1} + 3 x^{- 2}}{x^{- 2} + 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Schritt 7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 4}$

Schritt 10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}$

Schritt 11

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{0 + 4}$

Schritt 12.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ und $0 + 4$ .

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Schritt 12.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{0 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{0 + 4}$

Schritt 12.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $0 \cdot 2$ heraus.

$\frac{4 (0 \cdot 2) + 0 \cdot 3}{0 + 4}$

Schritt 12.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $0 \cdot 3$ heraus.

$\frac{4 (0 \cdot 2) + 4 (0 \cdot 3)}{0 + 4}$

Schritt 12.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (0 \cdot 2) + 4 (0 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{0 + 4}$

Schritt 12.2.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 (0) + 4}$

Schritt 12.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot 0 + 4 \cdot 1}$

Schritt 12.2.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 0 + 4 \cdot 1$ heraus.

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Schritt 12.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Schritt 12.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{0 + 1}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 3}{0 + 1}$

Schritt 12.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$\frac{0 + 0}{0 + 1}$

Schritt 12.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Schritt 12.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$