Analysis Beispiele

$\sum_{j = 1}^{15} {(j - 1)}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$j^{3} + 3 j^{2} \cdot - 1 + 3 j {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j + {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Summe um.

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1 = \sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 \sum_{j = 1}^{15} j^{2} + 3 \sum_{j = 1}^{15} j + \sum_{j = 1}^{15} - 1$

Schritt 3

Berechne $\sum_{j = 1}^{15} j^{3}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{15^{2} {(15 + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $15$ und $1$ .

$\frac{15^{2} \cdot 16^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$\frac{225 \cdot 16^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Potenziere $16$ mit $2$ .

$\frac{225 \cdot 256}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $225$ mit $256$ .

$\frac{57600}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $57600$ durch $4$ .

$14400$

Schritt 4

Berechne $3 \sum_{j = 1}^{15} j^{2}$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 3) (\frac{15 (15 + 1) (2 \cdot 15 + 1)}{6})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $15$ und $1$ .

$- 3 \frac{15 \cdot 16 (2 \cdot 15 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $15$ mit $16$ .

$- 3 \frac{240 (2 \cdot 15 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$- 3 \frac{240 (30 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $30$ und $1$ .

$- 3 \frac{240 \cdot 31}{6}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $240$ mit $31$ .

$- 3 (\frac{7440}{6})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{7440}{6}$

Schritt 4.3.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \cdot - 1 \frac{7440}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{7440}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{7440}{2})$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.3.1

Dividiere $7440$ durch $2$ .

$- 1 \cdot 3720$

Schritt 4.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3720$ .

$- 3720$

Schritt 5

Berechne $3 \sum_{j = 1}^{15} j$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(3) (\frac{15 (15 + 1)}{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Addiere $15$ und $1$ .

$3 \frac{15 \cdot 16}{2}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $15$ mit $16$ .

$3 (\frac{240}{2})$

Schritt 5.3.3

Dividiere $240$ durch $2$ .

$3 \cdot 120$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $120$ .

$360$

Schritt 6

Berechne $\sum_{j = 1}^{15} - 1$ .

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Schritt 6.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 6.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 1) (15)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$- 15$

Schritt 7

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$14400 - 3720 + 360 - 15$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $3720$ von $14400$ .

$10680 + 360 - 15$

Schritt 8.2

Addiere $10680$ und $360$ .

$11040 - 15$

Schritt 8.3

Subtrahiere $15$ von $11040$ .

$11025$