Analysis Beispiele

$\sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 1.8

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Schritt 1.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Schritt 1.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1.12.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.12.3

Multipliziere $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.12.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.12.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.12.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.12.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 1.12.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) (- \sin (x))$ und $\sin (x) \cos (x)$ neu an.

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.12.4.2

Addiere $- \cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.12.4.3

Addiere $\cos (x) \cos (x)$ und $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.12.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.12.5.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.12.5.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.12.5.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.12.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.12.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.12.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Schritt 1.12.5.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 1.12.5.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 1.12.5.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 1.12.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.12.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1.12.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$