Analysis Beispiele

$x^{2} y = y - 7$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y) = \frac{d}{d x} (y - 7)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 2.4

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 3.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' + 0$

Schritt 3.4

Addiere $y'$ und $0$ .

$y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{2} y' + 2 x y = y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x y - y' = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' - y' = - 2 x y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y' - y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' x^{2} - y' = - 2 x y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' x^{2} + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2} + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (x^{2} - 1) = - 2 x y$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' (x^{2} - 1^{2}) = - 2 x y$

Schritt 5.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x - 1)) = - 2 x y$

Schritt 5.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$ durch $(x + 1) (x - 1)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$