Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{2} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 2 x + 4$ . Dann ist $d u = (2 x + 2) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 2 x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 2 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 4]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$2 x + 2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 2 x + 4$ ein.

$u_{lower} = {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 + 4$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot - 1 + 4$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$u_{lower} = 1 - 2 + 4$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$u_{lower} = - 1 + 4$

Schritt 1.3.3

Addiere $- 1$ und $4$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 2 x + 4$ ein.

$u_{upper} = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 4$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 + 2 \cdot 2 + 4$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4 + 4$

Schritt 1.5.2

Addiere $4$ und $4$ .

$u_{upper} = 8 + 4$

Schritt 1.5.3

Addiere $8$ und $4$ .

$u_{upper} = 12$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 12$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{3}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{12} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int_{3}^{12} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{12} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{3}^{12} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{3}^{12} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{3}^{12} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{12} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{3}^{12}$

Schritt 6

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $12$ und $3$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (12^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$12^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 (- 3^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 (- 3^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$12^{\frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$12^{\frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}}$

Dezimalform:

$1.73205080 \dots$

Schritt 9