Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(8 - x^{3})}^{8}$ als ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere ${(8 - x^{3})}^{6}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{6} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe ${(8 - x^{3})}^{6}$ als ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ als ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 3

Multipliziere ${(8 - x^{3})}^{2}$ mit ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 + \frac{2}{3}}}]$

Schritt 3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{6 + 2}{3}}}]$

Schritt 3.5.2

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}]$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ als ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}}]$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{8}{3}}$ und $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} u^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - x^{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3$ von $- 8$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 10.2

Kombiniere ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ und $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 10.3.2

Bringe ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 12

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 15

Multipliziere.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (3 x^{2})$

Schritt 17

Vereinfache Terme.

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Schritt 17.1

Kombiniere $3$ und $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Schritt 17.3

Kombiniere $\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Schritt 17.4

Faktorisiere $3$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Schritt 18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}})}$

Schritt 18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Schritt 18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Schritt 19

Stelle die Terme um.

$\frac{8 x^{2}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{11}{3}}}$