Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{4}} 4 x (x - \frac{1}{3})$

Schritt 1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to \frac{1}{4}} x (x - \frac{1}{3})$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{4}$ annähert.

$4 lim_{x \to \frac{1}{4}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{4}} x - \frac{1}{3}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{4}$ annähert.

$4 lim_{x \to \frac{1}{4}} x \cdot (lim_{x \to \frac{1}{4}} x - lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{1}{3})$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{3}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{4}$ annähert.

$4 lim_{x \to \frac{1}{4}} x \cdot (lim_{x \to \frac{1}{4}} x - \frac{1}{3})$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{4}$ für $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{4}} x - \frac{1}{3})$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{4}$ für $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{3})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{4}) \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{3})$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{3})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4} - \frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{3}$

Schritt 6.3

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 6.4

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{3}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{12} - \frac{4}{3 \cdot 4}$

Schritt 6.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{3}{12} - \frac{4}{12}$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 4}{12}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{- 1}{12}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{12}$

Dezimalform:

$- 0.08\overline{3}$