Analysis Beispiele

$x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 7.3

Bringe ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 13

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 14

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 16.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 18

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 19

Kombiniere ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 20

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21

Um $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22

Um $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 23

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 23.1

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 23.2

Mutltipliziere $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 23.3

Stelle die Faktoren von $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ um.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 25

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 25.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 25.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 25.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 25.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 25.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{2 x^{1} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 26

Vereinfache $2 x^{1}$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 27

Multipliziere ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 27.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 27.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 27.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 27.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{1}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 28

Vereinfache ${(x + 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 30

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 31

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 33

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 33.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 33.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 33.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$