Analysis Beispiele

$\int \frac{a x}{x^{2} - b x} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - b x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int \frac{a x}{x \cdot x - b x} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- b x$ heraus.

$\int \frac{a x}{x \cdot x + x (- b)} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- b)$ heraus.

$\int \frac{a x}{x (x - b)} d x$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{a x}{x (x - b)} d x$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{a}{x - b} d x$

Schritt 2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $a$ aus dem Integral.

$a \int \frac{1}{x - b} d x$

Schritt 3

Sei $u = x - b$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x - b$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x - b$ .

$\frac{d}{d x} [x - b]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 3.1.4

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$a \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$a (\ln (| u |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$a \ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x - b$ .

$a \ln (| x - b |) + C$