Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 3 - 2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3 - 2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3 - 2}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3 - 2}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 3 - 2}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3 - lim_{x \to 1} 2}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3 - lim_{x \to 1} 2}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 - lim_{x \to 1} 2}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1^{2} + 3 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sqrt{1^{2} + 3 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{1^{2} + 3 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 - 2}}$

Schritt 10.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 - 2}}$

Schritt 10.2.4

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{2}}$

Schritt 10.3

Dividiere $0$ durch $\sqrt{2}$ .

$0$