Analysis Beispiele

${(3 - 2 x^{2})}^{2} \sqrt{2 x^{2} + 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x^{2} + 1}$ als ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(3 - 2 x^{2})}^{2}$ und $g (x) = {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x^{2} + 1$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x^{2} + 1$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 8.3

Bringe ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${(3 - 2 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 0) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 14.2

Kombiniere $4$ und $\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{4 {(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{4 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 14.4

Faktorisiere $2$ aus $4 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x$ heraus.

$\frac{2 (2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x)}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x)}{2 ({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x)}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 - 2 x^{2}$ .

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Schritt 16.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 - 2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}])$

Schritt 16.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}])$

Schritt 16.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 - 2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}])$

Schritt 17

Differenziere.

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Schritt 17.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}]$

Schritt 17.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Schritt 17.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Schritt 17.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 17.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 17.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 17.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) (2 x)$

Schritt 17.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x$

Schritt 18

Um $- 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x \cdot \frac{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19

Kombiniere $- 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x$ und $\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Multipliziere ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.1

Bewege ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 ({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{1} (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Vereinfache $- 8 {(2 x^{2} + 1)}^{1} (3 - 2 x^{2}) x$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 (2 x^{2} + 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.1

Schreibe ${(3 - 2 x^{2})}^{2}$ als $(3 - 2 x^{2}) (3 - 2 x^{2})$ um.

$\frac{2 ((3 - 2 x^{2}) (3 - 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.2

Multipliziere $(3 - 2 x^{2}) (3 - 2 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 23.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 (3 - 2 x^{2}) - 2 x^{2} (3 - 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 \cdot 3 + 3 (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} (3 - 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 \cdot 3 + 3 (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 3 - 2 x^{2} (- 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 23.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 (9 + 3 (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 3 - 2 x^{2} (- 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 2 x^{2} \cdot 3 - 2 x^{2} (- 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x^{2} (- 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 \cdot - 2 x^{2} x^{2}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.2.1.3.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 \cdot - 2 (x^{2} x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 \cdot - 2 x^{2 + 2}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 \cdot - 2 x^{4}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 4 x^{4}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.3.2

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (9 - 12 x^{2} + 4 x^{4}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (4 x^{4})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 23.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{(18 + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (4 x^{4})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$\frac{(18 - 24 x^{2} + 2 (4 x^{4})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(18 - 24 x^{2} + 8 x^{4}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x - 24 x^{2} x + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 23.2.1.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.2.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{18 x - 24 (x \cdot x^{2}) + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 23.2.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 x - 24 (x^{1} x^{2}) + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 x - 24 x^{1 + 2} + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.7.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 (x \cdot x^{4}) + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 23.2.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 (x^{1} x^{4}) + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{1 + 4} + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.7.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} - 8) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.9

Multipliziere $(- 16 x^{2} - 8) (3 - 2 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 23.2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} (3 - 2 x^{2}) - 8 (3 - 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} \cdot 3 - 16 x^{2} (- 2 x^{2}) - 8 (3 - 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} \cdot 3 - 16 x^{2} (- 2 x^{2}) - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 23.2.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.10.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 x^{2} (- 2 x^{2}) - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 \cdot - 2 x^{2} x^{2} - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.2.1.10.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 \cdot - 2 (x^{2} x^{2}) - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 \cdot - 2 x^{2 + 2} - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 \cdot - 2 x^{4} - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} + 32 x^{4} - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} + 32 x^{4} - 24 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} + 32 x^{4} - 24 + 16 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.10.2

Addiere $- 48 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 32 x^{2} + 32 x^{4} - 24) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{2} x + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.12

Vereinfache.

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Schritt 23.2.1.12.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.2.1.12.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 (x \cdot x^{2}) + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.12.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 23.2.1.12.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 (x^{1} x^{2}) + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{1 + 2} + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.12.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.12.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.2.1.12.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 (x \cdot x^{4}) - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 23.2.1.12.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 (x^{1} x^{4}) - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.12.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{1 + 4} - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.12.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{5} - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.2

Subtrahiere $24 x$ von $18 x$ .

$\frac{- 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{5} - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.3

Subtrahiere $32 x^{3}$ von $- 24 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 32 x^{5} - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.4

Addiere $8 x^{5}$ und $32 x^{5}$ .

$\frac{40 x^{5} - 56 x^{3} - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $40 x^{5} - 56 x^{3} - 6 x$ heraus.

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Schritt 23.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $40 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 x (20 x^{4}) - 56 x^{3} - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 56 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (20 x^{4}) + 2 x (- 28 x^{2}) - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{2 x (20 x^{4}) + 2 x (- 28 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (20 x^{4}) + 2 x (- 28 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 x (20 x^{4} - 28 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (20 x^{4} - 28 x^{2}) + 2 x (- 3)$ heraus.

$\frac{2 x (20 x^{4} - 28 x^{2} - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{2 x (20 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{2 x (20 u^{2} - 28 u - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 23.3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 20 \cdot - 3 = - 60$ und deren Summe gleich $b = - 28$ ist.

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Schritt 23.3.4.1.1

Faktorisiere $- 28$ aus $- 28 u$ heraus.

$\frac{2 x (20 u^{2} - 28 (u) - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.4.1.2

Schreibe $- 28$ um als $2$ plus $- 30$

$\frac{2 x (20 u^{2} + (2 - 30) u - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (20 u^{2} + 2 u - 30 u - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 23.3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 x ((20 u^{2} + 2 u) - 30 u - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (2 u (10 u + 1) - 3 (10 u + 1))}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $10 u + 1$ .

$\frac{2 x ((10 u + 1) (2 u - 3))}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{2 x (10 x^{2} + 1) (2 x^{2} - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$