Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{h}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{h} lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{h} (2 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(x + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{3})$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Addiere $0$ und $h$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0)$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} + 0)$

Schritt 10.3

Addiere $2 h^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3})$

Schritt 10.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{h} h^{3}$

Schritt 10.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{h}$ .

$\frac{2}{h} h^{3}$

Schritt 10.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 10.6.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{3}$ heraus.

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

Schritt 10.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

Schritt 10.6.3

Forme den Ausdruck um.

$2 h^{2}$