Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (2 - \csc^{2} (x)) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 - \csc^{2} (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x$

Schritt 5

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Berechne $2 x$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{4}$ .

$(2 \frac{π}{2}) - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 6.1.2

Berechne $- \cot (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{4}$ .

$2 \frac{π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.2.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{π}{4}$ .

$π + \frac{- 2 π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$π + \frac{2 (- π)}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$π + \frac{2 (- π)}{2 (2)} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π + \frac{- π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$π - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.6

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.7

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 2 - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3.10

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + \cot (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.2.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + 1)$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π}{2} - (0 + 1)$

Schritt 6.2.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{2} - 1$

Dezimalform:

$0.57079632 \dots$