Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{2 x - 6}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{2 x - 6}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 6}{x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 3) (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 3) + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.4

Stelle $x$ und $- 3$ um.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.8.3

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.8.4

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2.9

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.3

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.11

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.12

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.13

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.14

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.15

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

Schritt 5.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 \cdot 0}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 - 6 \cdot 0}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Schritt 7.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$