Analysis Beispiele

$lim_{x \to a} \frac{x^{2} - (a + 1) x + a}{x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to a} x^{2} - (a + 1) x + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $a$ annähert.

$\frac{lim_{x \to a} x^{2} - lim_{x \to a} (a + 1) x + lim_{x \to a} a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - lim_{x \to a} (a + 1) x + lim_{x \to a} a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $a + 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + lim_{x \to a} a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $a$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $a$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

$\frac{a^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

$\frac{a^{2} - (a + 1) a + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + (- a - 1 \cdot 1) a + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} + (- a - 1) a + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - a \cdot a - 1 a + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.1.4

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.6.1.4.1

Bewege $a$ .

$\frac{a^{2} - (a \cdot a) - 1 a + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.1.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} - a^{2} - 1 a + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.1.5

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$\frac{a^{2} - a^{2} - a + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} - a^{2} - a + a$ .

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{0 - a + a}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Addiere $- a$ und $a$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $a$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to a} x^{3} - lim_{x \to a} a^{3}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to a} x)}^{3} - lim_{x \to a} a^{3}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $a^{3}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $a$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to a} x)}^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

$\frac{0}{a^{3} - a^{3}}$

Schritt 1.1.3.3

Subtrahiere $a^{3}$ von $a^{3}$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to a} \frac{x^{2} - (a + 1) x + a}{x^{3} - a^{3}} = lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - (a + 1) x + a]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - (a + 1) x + a]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - (a + 1) x + a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- (a + 1) x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- (a + 1) x] + \frac{d}{d x} [a]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to a} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- (a + 1) x] + \frac{d}{d x} [a]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- (a + 1) x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- (a + 1)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (a + 1) x$ nach $x$ gleich $- (a + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to a} \frac{2 x - (a + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to a} \frac{2 x - (a + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to a} \frac{2 x - (a + 1) + \frac{d}{d x} [a]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.5

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{2 x - (a + 1) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 1.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to a} \frac{2 x - a - 1 \cdot 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to a} \frac{2 x - a - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.6.2.2

Addiere $2 x - a - 1$ und $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{2 x - a - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.6.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to a} \frac{- a + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} - a^{3}]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - a^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- a^{3}]$ .

$lim_{x \to a} \frac{- a + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- a^{3}]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to a} \frac{- a + 2 x - 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- a^{3}]}$

Schritt 1.3.9

Da $- a^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{- a + 2 x - 1}{3 x^{2} + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{- a + 2 x - 1}{3 x^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to a} \frac{- a + 2 x - 1}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $a$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to a} - a + 2 x - 1}{lim_{x \to a} x^{2}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $a$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to a} a + lim_{x \to a} 2 x - lim_{x \to a} 1}{lim_{x \to a} x^{2}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $a$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- a + lim_{x \to a} 2 x - lim_{x \to a} 1}{lim_{x \to a} x^{2}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- a + 2 lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} 1}{lim_{x \to a} x^{2}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $a$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- a + 2 lim_{x \to a} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to a} x^{2}}$

Schritt 2.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- a + 2 lim_{x \to a} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to a} x)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $a$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- a + 2 a - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to a} x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- a + 2 a - 1 \cdot 1}{a^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- a + 2 a - 1}{a^{2}}$

Schritt 4.1.2

Addiere $- a$ und $2 a$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{a - 1}{a^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{a - 1}{a^{2}}$ .

$\frac{a - 1}{3 a^{2}}$