Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 12}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Schritt 1.3

Da die Funktion $\ln (x^{3})$ gegen $\infty$ geht, geht die negative Konstante $- 6$ mal der Funktion gegen $- \infty$ .

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Schritt 1.3.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $- 6$ entfernt.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{3})}$

Schritt 1.3.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.3

Da die Funktion $\ln (x^{3})$ gegen $\infty$ geht, geht die negative Konstante $- 6$ mal der Funktion gegen $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3.5

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3.6

Addiere $2 x + 3$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Schritt 3.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \ln (x^{3})$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Schritt 3.8.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{x^{3}}$ und $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} (3 x^{2})}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 3 \frac{6}{x^{3}} x^{2}}$

Schritt 3.13

Kombiniere $- 3$ und $\frac{6}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 3 \cdot 6}{x^{3}} x^{2}}$

Schritt 3.14

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x^{3}} x^{2}}$

Schritt 3.15

Kombiniere $\frac{- 18}{x^{3}}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 3.16.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 18 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{3}}}$

Schritt 3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.16.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Schritt 3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Schritt 3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x}}$

Schritt 3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{18}{x}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} (2 x + 3) (- \frac{x}{18})$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} 2 x (- \frac{x}{18}) + 3 (- \frac{x}{18})$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to \infty} 2 \cdot - 1 x \frac{x}{18} + 3 (- \frac{x}{18})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} - 2 x \frac{x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Schritt 7

Kombiniere $- 2 x$ und $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x \cdot x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Schritt 8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x)}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Schritt 9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{1 + 1}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} - 3 \frac{x}{18}$

Schritt 11.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + \frac{- 3 x}{18}$

Schritt 12

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\infty$