Analysis Beispiele

$h (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(x - 1) x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.8.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Schritt 1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.12.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.13.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.13.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2.4

Schreibe $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.13.2.5

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.6

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.9

Addiere $x^{\frac{1}{2}}$ und $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Schritt 2.3.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.17

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(x - 1) x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.8.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Schritt 4.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.12.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13

Vereinfache.

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Schritt 4.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.13.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.13.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2.4

Schreibe $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.13.2.5

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.6

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.9

Addiere $x^{\frac{1}{2}}$ und $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $h (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 5.2.2

Da $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 2, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{1}{2}}$ .

Schritt 5.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 5.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.2.6

Das kgV von $2, 2, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 5.2.7

Das kgV von $x^{\frac{1}{2}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.8

Das kgV von $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $2 x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{1 + 1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.3.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$3 x^{1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.4

Vereinfache $3 x^{1}$ .

$3 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x - 1 = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$3 x - 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Schritt 6.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Schritt 6.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 x = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x = 0$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4

Multipliziere $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

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Schritt 9.1.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.2

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 9.1.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.1.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.1.6

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + 1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 9.1.8

Mutltipliziere $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{3}{2}} + 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 9.2.2

Addiere $3^{\frac{3}{2}}$ und $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Schritt 9.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 10

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Entferne die Klammern.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{- 2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 11.2.8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 11.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 11.2.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 11.2.10.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 11.2.10.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 11.2.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.2.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 11.2.10.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 11.2.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 11.2.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 11.2.11

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 11.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 11.2.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{9}$

Schritt 11.2.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 11.2.13

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{3}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{1}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{4 \cdot 0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{3}{0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15