Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 1.1

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x$

Schritt 1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Schritt 1.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Schritt 1.5.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 1.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ ein.

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 2.1.4

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ ein.

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

Schritt 3

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

Schritt 3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

Schritt 5

Stelle $- {u_{1}}^{2}$ und ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{2}$ und $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Schritt 7

Um $u_{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Kombiniere $u_{1}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Schritt 9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Schritt 10

Um $- u_{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

Schritt 11

Kombiniere $- u_{1}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

Schritt 13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

Schritt 14

Mutltipliziere $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ mit $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

Schritt 15

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

Schritt 16

Schreibe $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ um.

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Schritt 16.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ heraus.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

Schritt 16.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

Schritt 16.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

Schritt 17

Vereinfache Terme.

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Schritt 17.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

Schritt 17.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Schritt 18

Multipliziere $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Schritt 18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Schritt 19

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Schritt 19.1.2

Mutltipliziere $- 2 u_{1}$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Schritt 19.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Schritt 19.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 19.1.5

Multipliziere $u_{1}$ mit $u_{1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.1.5.1

Bewege $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

Schritt 19.1.5.2

Mutltipliziere $u_{1}$ mit $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 19.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 19.2

Addiere $- 2 u_{1}$ und $2 u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 19.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 20

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 21

Sei $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\cos (t)}{2}$ positiv ist.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22

Vereinfache Terme.

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Schritt 22.1

Vereinfache $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 22.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (t)$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (t)}{2}$ an.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 22.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.2

Vereinfache.

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Schritt 22.2.1

Kombiniere $\cos (t)$ und $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Schritt 22.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Schritt 22.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Schritt 22.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 23

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 24.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 25

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 26

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 27

Vereinfache.

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Schritt 27.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 27.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 28

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 29

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 30

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 30.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 30.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 30.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 30.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 30.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 30.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Schritt 30.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 30.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 30.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 30.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = - π$

Schritt 30.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 30.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 30.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 30.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 30.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Schritt 30.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 31

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 32

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 33

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Schritt 34

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 34.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Schritt 34.2

Berechne $\sin (u_{2})$ bei $π$ und $- π$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 34.3

Vereinfache.

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Schritt 34.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 34.3.2

Addiere $π$ und $π$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 34.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 34.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Schritt 34.3.3.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Schritt 35

Vereinfache.

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Schritt 35.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 35.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 35.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Schritt 35.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Schritt 35.1.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Schritt 35.1.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Schritt 35.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Schritt 35.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 35.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{8} (π + 0)$

Schritt 35.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} π$

Schritt 35.3

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $π$ .

$\frac{π}{8}$

Schritt 36

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{8}$

Dezimalform:

$0.39269908 \dots$

Schritt 37