Analysis Beispiele

$\int t (2 t - 3 \sqrt{t}) d t$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int t (2 t - 3 t^{\frac{1}{2}}) d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int t (2 t) + t (- 3 t^{\frac{1}{2}}) d t$

Schritt 2.2

Stelle $t$ und $2$ um.

$\int 2 \cdot t \cdot t + t (- 3 t^{\frac{1}{2}}) d t$

Schritt 2.3

Stelle $t$ und $- 3$ um.

$\int 2 \cdot t \cdot t - 3 \cdot t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int 2 (t^{1} t) - 3 t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int 2 (t^{1} t^{1}) - 3 t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 t^{1 + 1} - 3 t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 2 t^{2} - 3 t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.8

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int 2 t^{2} - 3 (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Schritt 2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 t^{2} - 3 t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 t^{2} - 3 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 t^{2} - 3 t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Schritt 2.12

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 2 t^{2} - 3 t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 t^{2} d t + \int - 3 t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int t^{2} d t + \int - 3 t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int - 3 t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 3 \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 3 (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$2 (\frac{1}{3}) t^{3} - 3 (\frac{2}{5}) t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{3} - 3 (\frac{2}{5}) t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{3} t^{3} + \frac{- 3 \cdot 2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} t^{3} + \frac{- 6}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} t^{3} - \frac{6}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$