Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ von $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'}{x}$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x'}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x'}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.19

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.21

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ um.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ durch $1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = - 1$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten mit $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}}) = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}})$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 6.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x' = - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 x^{\frac{3}{2}}$