Analysis Beispiele

$\int (\frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x}}{4}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x}}{4} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{4} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}{4} d x$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{1 + \frac{1}{2}}}{4} d x$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{2 + 1}{2}}}{4} d x$

Schritt 2.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 4} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{20} + C$

Schritt 10.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{5}{2}})}{20} + C$

Schritt 10.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 10} + C$

Schritt 10.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 10} + C$

Schritt 10.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$