Analysis Beispiele

$y = \arcsin (\frac{1}{9 x + 6})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{9 x + 6}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{1}{9 x + 6}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{9 x + 6}$ als ${(9 x + 6)}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(9 x + 6)}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 9 x + 6$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $9 x + 6$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 x + 6$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (- {(9 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}}$ und ${(9 x + 6)}^{- 2}$ .

$- \frac{{(9 x + 6)}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

Schritt 3.4.2

Bringe ${(9 x + 6)}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

Schritt 3.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.4.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.4.7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 + 0)$

Schritt 3.4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.8.1

Addiere $9$ und $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} \cdot 9$

Schritt 3.4.8.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 9 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Schritt 3.4.8.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Schritt 3.4.8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{9 x + 6}$ an.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$