Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} c x^{2} + 4 x & x < 5 \\ x^{3} - c x & x \geq 5 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $c x^{2} + 4 x$ , wenn sich $x$ von links $5$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + 4 x$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $c$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$c lim_{x \to 5^{-}} x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Schritt 1.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

Schritt 1.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 1.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$c \cdot 5^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

Schritt 1.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$c \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$c \cdot 25 + 4 \cdot 5$

Schritt 1.7.2

Bringe $25$ auf die linke Seite von $c$ .

$25 \cdot c + 4 \cdot 5$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$25 c + 20$

Schritt 2

Berechne $x^{3} - c x$ bei $5$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

${(5)}^{3} - c \cdot 5$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - c \cdot 5$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$125 - 5 c$

Schritt 3

Da die Grenze von $c x^{2} + 4 x$ bei Annäherung von $x$ an $5$ von links nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 5$ ist, ist die Funktion bei $x = 5$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4