Analysis Beispiele

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y'} y = \frac{d}{d y'} \cdot \frac{5 - {y'}^{2}}{5 + {y'}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $y'$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [\frac{f (y')}{g (y')}]$ gleich $\frac{g (y') \frac{d}{d v} [f (y')] - f (y') \frac{d}{d v} [g (y')]}{{g (y')}^{2}}$ ist mit $f (y') = 5 - {y'}^{2}$ und $g (y') = 5 + {y'}^{2}$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 - {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - {y'}^{2}$ nach $y'$ $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $y'$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y'$ gleich $0$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y'$ ist, ist die Ableitung von $- {y'}^{2}$ nach $y'$ gleich $- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ gleich $n {y'}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- (2 y')) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + {y'}^{2}$ nach $y'$ $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Da $5$ konstant bezüglich $y'$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y'$ gleich $0$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ gleich $n {y'}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (2 y')}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') + (- 2 \cdot 5 - 2 (- {y'}^{2})) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{- 10 y' + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{2} y' - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3

Multipliziere ${y'}^{2}$ mit $y'$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1.3.1

Bewege $y'$ .

$\frac{- 10 y' - 2 (y' {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3.2

Mutltipliziere $y'$ mit ${y'}^{2}$ .

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Schritt 3.3.4.1.3.2.1

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$\frac{- 10 y' - 2 ({y'}^{1} {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{1 + 2} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.5

Multipliziere ${y'}^{2}$ mit $y'$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1.5.1

Bewege $y'$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- (y' {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.5.2

Mutltipliziere $y'$ mit ${y'}^{2}$ .

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Schritt 3.3.4.1.5.2.1

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- ({y'}^{1} {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{1 + 2})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{3})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}$ .

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Schritt 3.3.4.2.1

Addiere $- 2 {y'}^{3}$ und $2 {y'}^{3}$ .

$\frac{- 10 y' - 10 y' + 0}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2.2

Addiere $- 10 y' - 10 y'$ und $0$ .

$\frac{- 10 y' - 10 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Subtrahiere $10 y'$ von $- 10 y'$ .

$\frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ mit ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ mit ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ .

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ in den Zähler.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Schritt 5.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - 20 y'$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1.1

Addiere $20 y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.2.1

Schreibe ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ als $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ um.

$y' ((5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.2

Multipliziere $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (5 (5 + {y'}^{2}) + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${y'}^{2}$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 \cdot {y'}^{2} + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.3.1.3

Multipliziere ${y'}^{2}$ mit ${y'}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.3.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2 + 2}) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.3.1.3.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.3.2

Addiere $5 {y'}^{2}$ und $5 {y'}^{2}$ .

$y' (25 + 10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y' \cdot 25 + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.2.5.1

Bringe $25$ auf die linke Seite von $y'$ .

$25 \cdot y' + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + y' {y'}^{4} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.5.3

Multipliziere $y'$ mit ${y'}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.5.3.1

Mutltipliziere $y'$ mit ${y'}^{4}$ .

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Schritt 5.3.1.2.5.3.1.1

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1} {y'}^{4} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.5.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1 + 4} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.5.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.6

Multipliziere $y'$ mit ${y'}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.6.1

Bewege ${y'}^{2}$ .

$25 y' + 10 ({y'}^{2} y') + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.6.2

Mutltipliziere ${y'}^{2}$ mit $y'$ .

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Schritt 5.3.1.2.6.2.1

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$25 y' + 10 ({y'}^{2} {y'}^{1}) + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 y' + 10 {y'}^{2 + 1} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.2.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$25 y' + 10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Schritt 5.3.1.3

Addiere $25 y'$ und $20 y'$ .

$10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $y'$ aus $10 {y'}^{3}$ heraus.

$y' (10 {y'}^{2}) + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{5}$ heraus.

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 45 y' = 0$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $y'$ aus $45 y'$ heraus.

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

Schritt 5.3.2.1.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4})$ heraus.

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

Schritt 5.3.2.1.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45$ heraus.

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4} + 45) = 0$

Schritt 5.3.2.2

Stelle die Terme um.

$y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$

Schritt 5.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y' = 0$

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

Schritt 5.3.4

Setze $y'$ gleich $0$ .

$y' = 0$

Schritt 5.3.5

Setze ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ gleich $0$ und löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Setze ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ gleich $0$ .

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

Schritt 5.3.5.2

Löse ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.5.2.1

Setze $u = {y'}^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 10 u + 45 = 0$

$u = {y'}^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3.5.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 10$ und $c = 45$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 45)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.2.4.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

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Schritt 5.3.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.3

Subtrahiere $180$ von $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.4

Schreibe $- 80$ als $- 1 (80)$ um.

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (80)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ um.

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.7

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.5.2.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.3.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.3.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.2.5.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

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Schritt 5.3.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.3

Subtrahiere $180$ von $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.4

Schreibe $- 80$ als $- 1 (80)$ um.

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (80)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ um.

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.7

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.5.2.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.3.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.3.5.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.2.6.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

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Schritt 5.3.5.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.3

Subtrahiere $180$ von $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.4

Schreibe $- 80$ als $- 1 (80)$ um.

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (80)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ um.

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.7

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.5.2.6.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.3.5.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}, - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = {y'}^{2}$ in die gelöste Gleichung.

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.9

Löse die erste Gleichung nach $y'$ auf.

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.10

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.5.2.10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y' = \pm \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.5.2.10.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.5.2.10.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.5.2.10.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y' = - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.5.2.10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.5.2.11

Löse die zweite Gleichung nach $y'$ auf.

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.12

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.5.2.12.1

Entferne die Klammern.

${y'}^{2} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Schritt 5.3.5.2.12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y' = \pm \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.5.2.12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.5.2.12.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.5.2.12.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y' = - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.5.2.12.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.5.2.13

Die Lösung von ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ ist $y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$ .

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$ wahr machen.

$y' = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d v}$ .

$\frac{d y}{d v} = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$