Analysis Beispiele

$\int 7 \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Schritt 2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$7 \int \tan^{3} (x) \sec^{1} (x) d x$

Schritt 3

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus.

$7 \int \tan^{2} (x) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Schritt 4

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$7 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Schritt 5

Vereinfache.

$7 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec (x) d x$

Schritt 6

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$7 \int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$7 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$7 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$7 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$7 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$7 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$7 (- \sec (x) + \frac{1}{3} \sec^{3} (x)) + C$