Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}})$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$ als ${(\frac{x - 1}{x^{4} + 1})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (y) = \ln ({(\frac{x - 1}{x^{4} + 1})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{x - 1}{x^{4} + 1})}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = \frac{1}{2} \ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})$ als $\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1)$ um.

$\ln (y) = \frac{1}{2} (\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $\frac{1}{2} (\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} (\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1))]$

Schritt 3.2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})]$

Schritt 3.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} \ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x - 1}{x^{4} + 1}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x - 1}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

Schritt 3.2.4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x - 1}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{1}{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

Schritt 3.2.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x - 1}{x^{4} + 1}$ zu dividieren.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 \frac{x^{4} + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

Schritt 3.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{x^{4} + 1}{x - 1}$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x^{4} + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $\frac{x^{4} + 1}{x - 1}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{(x - 1) \cdot 2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}]$

Schritt 3.2.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 \cdot (x - 1)} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}]$

Schritt 3.2.7

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Differenziere.

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Schritt 3.2.8.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.8.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.4.2

Mutltipliziere $x^{4} + 1$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.8.8.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.8.3

Mutltipliziere $\frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)}$ mit $\frac{x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3})}{2 (x - 1) {(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.9.1

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus $2 (x - 1) {(x^{4} + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3})}{(x^{4} + 1) (2 (x - 1) (x^{4} + 1))}$

Schritt 3.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} = \frac{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3})}{(x^{4} + 1) (2 (x - 1) (x^{4} + 1))}$

Schritt 3.2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3}}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10

Vereinfache.

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Schritt 3.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) x^{3}}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3} - 4 \cdot - 1 x^{3}}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3} - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.10.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.10.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.10.4.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x) - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.4.1.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.10.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1}) - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1} - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.4.1.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4} - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.4.2

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 1 + 4 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 1 + 4 x^{3}}{(2 x - 2) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.6

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1}{(2 x - 2) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.7

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 3.2.10.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1}{(2 (x) - 2) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1}{(2 (x) + 2 (- 1)) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4}) + 4 x^{3} + 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.9

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4}) - (- 4 x^{3}) + 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{4}) - (- 4 x^{3})$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4} - 4 x^{3}) + 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.11

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4} - 4 x^{3}) - 1 (- 1)}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{4} - 4 x^{3}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.13

Schreibe $- (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)$ als $- 1 (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)$ um.

$\frac{y'}{y} = \frac{- 1 (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 3.2.10.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y'}{y} = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$ als $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ um.

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ .

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}})$

Schritt 5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ .

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $\sqrt{x^{4} + 1}$ mit $1$ .

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $\sqrt{x^{4} + 1}$ mit $1$ .

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 1}}^{1}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}}$

Schritt 5.3.6

Schreibe ${\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}$ als $x^{4} + 1$ um.

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Schritt 5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} + 1}$ als ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{1}}$

Schritt 5.3.6.5

Vereinfache.

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{x^{4} + 1}$

Schritt 5.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)}}{x^{4} + 1}$

Schritt 5.5

Multipliziere $- \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)}}{x^{4} + 1}$ .

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)}}{x^{4} + 1}$ mit $\frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$ .

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{(x^{4} + 1) (2 (x - 1) (x^{4} + 1))}$

Schritt 5.5.2

Potenziere $x^{4} + 1$ mit $1$ .

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) ({(x^{4} + 1)}^{1} (x^{4} + 1))}$

Schritt 5.5.3

Potenziere $x^{4} + 1$ mit $1$ .

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) ({(x^{4} + 1)}^{1} {(x^{4} + 1)}^{1})}$

Schritt 5.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) {(x^{4} + 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) {(x^{4} + 1)}^{2}}$