Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - \sqrt{x}}{h}]$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h}]$

Schritt 1.3

Da $\frac{1}{h}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + h$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{{(x + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 7.3

Bringe ${(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 10

Da $h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $h$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 14

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 15

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 17.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 19

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 20

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{h} \cdot \frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{h} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 21.2

Vereine die Terme

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Schritt 21.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{h}$ mit $\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{h} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 21.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{h}$ mit $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{h (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 21.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 21.3.1.1

Forme um.

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{h \cdot 2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{1}{2 h {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$