Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.12.3

Kombiniere $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.16

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.16.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.18

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.19

Um ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.21.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.22

Vereinfache ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{2} + 1$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.6.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.10.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.14

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.14.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.14.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.14.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.14.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.2

Mutltipliziere $- 2 x^{2} - 1$ mit $\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.3

Um $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5

Schreibe $\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.15.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x$ heraus.

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Schritt 2.15.2.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $(- 2 x^{2} - 1) x$ heraus.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.2

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.15.2.5.2.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{1} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.3

Vereinfache $4 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x (4 (x^{2} + 1) - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 4 - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.2.5.7

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.15.3.1

Schreibe $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ als ein Produkt um.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.15.3.2

Mutltipliziere $\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Schritt 2.15.3.3

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.15.3.3.1

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.15.3.3.1.1

Potenziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 2.15.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.15.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.15.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.15.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x (2 x^{2} + 3)$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.3

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.4.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + 0) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.4.6

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x^{1} x) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x^{1} x^{1}) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{1 + 1} + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} + 3) \cdot 1) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.8.3.1

Mutltipliziere $2 x^{2} + 3$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + 2 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8.3.2

Addiere $4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.9.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.13.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.14.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.14.2

Kombiniere $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.17

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.18.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - 2 \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{- 2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18.5

Kombiniere $x$ und $\frac{- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1} x (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1} x^{1} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1 + 1} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.22

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{2} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.23

Faktorisiere $2$ aus $x^{2} (- 6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.24

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.24.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.24.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.24.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{1} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.24.4

Dividiere $x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ durch $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.25

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} + 3)$ heraus.

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Schritt 3.25.1

Stelle $x^{2}$ und $- 3$ um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.25.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3)$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) - 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.25.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $- 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.25.4

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.26

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.26.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.26.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.27

Vereinfache.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.28

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.29

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{3}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.29.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3 - \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.29.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.29.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.29.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Schritt 3.29.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.29.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Schritt 3.29.5.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30

Vereinfache.

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Schritt 3.30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.30.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.30.2.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.30.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (6 x^{2} + 3) + 1 (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.30.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.30.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.30.2.1.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{6 x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $6 x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.2.2

Addiere $3 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.30.2.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{2 + 2} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 9 x^{2}$ .

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Schritt 3.30.2.2.1

Subtrahiere $6 x^{4}$ von $6 x^{4}$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 + 0 - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.2.2

Addiere $9 x^{2} + 3$ und $0$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.2.3

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$\frac{0 + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.30.2.2.4

Addiere $0$ und $3$ .

$f''' (x) = \frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ als ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Schritt 4.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.7.2

Kombiniere ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ und $\frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$3 (- \frac{5 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.7.3.2

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (\frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ und $- 3$ .

$\frac{5 \cdot - 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{- 15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 4.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x)$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Schritt 4.11.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Schritt 4.11.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $15$ .

$\frac{- 30}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Schritt 4.11.5

Kombiniere $\frac{- 30}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 30 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.11.6

Faktorisiere $2$ aus $- 30 x$ heraus.

$\frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- 15 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}})}$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$