Analysis Beispiele

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{5}$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x$ ein.

$u_{upper} = 1 + a$

Schritt 1.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

Schritt 1.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $1 + a$ und $1$ .

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

Schritt 5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0 + a}{1 + a}$

Schritt 5.4.2

Addiere $0$ und $a$ .

$\frac{a}{1 + a}$