Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $- \infty$ annähert.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$0 - 4$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 - 4 x$ ein.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

Schritt 2.3

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 - 4 x$ ein.

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$u_{upper} = 3 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Schritt 3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

Schritt 7

Kombiniere $\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ und $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

Schritt 8

Berechne $\ln (| u |)$ bei $3$ und $3 - 4 t$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

Schritt 9

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Schritt 10

Da die Funktion $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ gegen $- \infty$ geht, geht die negative Konstante $- 1$ mal der Funktion gegen $\infty$ .

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Schritt 10.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $- 1$ entfernt.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Schritt 10.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Schritt 10.3

Wenn $t$ $- \infty$ von beiden Seiten erreicht, wird $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ ohne Schranke kleiner.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \infty}{4}$

Schritt 10.5

Unendlich geteilt durch etwas, das endlich oder nicht-Null ist, ist Unendlich.

$- \infty$

Schritt 10.6

Da die Funktion $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ gegen $- \infty$ geht, geht die negative Konstante $- 1$ mal der Funktion gegen $\infty$ .

$\infty$